7.3.5 Ontsnappingssnelheid
We leiden met behulp van het bovenstaande nu twee karakteristieke snelheden af voor de beweging van een deeltje in een zwaartekrachtveld. De vrije-val snelheid is de snelheid waarmee een deeltje dat met beginsnelheid nul vanuit het oneindige ``vrij'' (d.w.z. slechts onder invloed van het zwaartekrachtveld) naar een lichaam toevalt, op afstand aankomt. De ontsnappingssnelheid is de snelheid die het deeltje op afstand aanvankelijk omhoog moet hebben om nét te kunnen ontsnappen aan de omgeving van het lichaam (de snelheid die hij aanvankelijk moet hebben om ``met snelheid nul in het oneindige te kunnen arriveren''). Deze twee snelheden zijn aan elkaar gelijk. Ze kunnen nu eenvoudig worden afgeleid met behulp van een energieargument.

Beschouw het proces waarbij het deeltje met beginsnelheid nul vanuit het oneindige naar het hemellichaam valt. Bij het vallen neemt de snelheid van het deeltje en dus toe. In de beginsituatie zijn en beide nul. De totale energie is dus ook nul. Wanneer het deeltje eenmaal op arriveert is wegens energiebehoud nog steeds nul, dus voor zijn vrije-valsnelheid (zijn ``free fall velocity'') geldt: , dus



(Ga na.) Omgekeerd geldt, dat als het deeltje op een snelheid omhoog heeft, de totale energie ook nul is (ga dit na). Hij zal dus bij zijn beweging van het hemellichaam af, waarbij hij geleidelijk aan wint en aan verliest, het oneindige kunnen bereiken (met eindsnelheid nul). De ontsnappingssnelheid (``escape velocity'') is dus gelijk aan :



Alle bovenstaande redeneringen gelden natuurlijk voor elke afstand tot het centrum van het hemellichaam en dus ook voor de afstand overeenstemmend met de straal ervan.

Opgaven. Wat is dus de ontsnappingssnelheid van het oppervlak van de aarde (verwaarloos de atmosferische wrijving)? En van het oppervlak van de zon? Van 1 AE van de zon?

We hebben in §4 al gezien, dat de cirkelsnelheid van een deeltje in een cirkelvormige Keplerbaan met straal om een lichaam met massa



bedraagt. We zien dus dat de cirkelsnelheid maar een factor lager ligt dan de ontsnappingssnelheid. Voor ruwe schattingen is derhalve een aardige waarde voor de karakteristieke snelheid van een deeltje dat gebonden is in een zwaartekrachtveld: veel hoger dan anderhalf keer deze waarde zal de snelheid niet zijn, want dan ontsnapt het deeltje, veel lager zal hij ook niet zijn, want dan zou het deeltje in een lagere baan moeten zitten. Dit is een belangrijk resultaat dat in de sterrenkunde voortdurend wordt gebruikt bij orde van grootte schattingen en statistische toepassingen. Wij zullen dit ook doen bij berekingen over de ``donkere materie'' en over de uitdijing van het heelal (§8).


[INDEX]