6.6.2 Uitproduct van vectoren
De tweede manier om vectoren met elkaar te vermenigvuldigen is het vectorproduct of uitproduct. Deze vermenigvuldiging (het ``cross-product'') van en levert een vector op die loodrecht staat op beide oorspronkelijke vectoren (Fig. 53) en die een lengte heeft die samenhangt met de sinus van hun onderlinge hoek :


De richting van wordt bepaald met de bekende kurketrekkerregel (Fig. 53): draai over hoek naar , dan wijst in de richting waarin een kurketrekker beweegt als je hem die kant op draait. Uit deze regel zie je meteen dat . Voor het standaard (rechtshandige) coordinatenstelsel in §4.1: . Bij je rechterhand: wijsvinger middelvinger staat in de richting van duim (als je je wijsvinger recht houdt en je middelvinger kromt...).

Figuur 53: Uitproduct . Het coordinatenstelsel is hier zo gekozen dat het vlak door en het XY vlak is, maar het uitproduct is natuurlijk gedefinieerd voor elk tweetal vectoren.

De lengte van is dus . Nu is niets anders dan , de lengte van de component van loodrecht op ofwel de lengte van de projectie van op een lijn loodrecht op . (Ga dit in Fig. 52 na met behulp van de definitie van de sinus.) Je kunt dus schrijven . Net zo is de lengte van de component van loodrecht op , en geldt dus ook .

Als evenwijdig is aan dan is en als loodrecht staat op dan is de lengte van het vectorproduct . Ga zelf na wat de negen verschillende mogelijke uitproducten van de eenheidsvectoren , en opleveren, en hoe er in componenten uitgeschreven uitziet.

Als je thuis bent in matrices, het antwoord op de laatste vraag is


Je gebruikt het vectorproduct dus als je de component van een vector loodrecht op een andere vector wilt vinden, iets wat ook al in §4.1 aan de orde kwam, en we gaan dit product nu gebruiken bij de definitie van het impulsmoment. Het is al wel duidelijk dat het vectorproduct iets met draaien, en de richting waarin je draait, te maken heeft.


[INDEX]