6.4.3 Ideale relativistische raket


Figuur 51: USS Voyager, met warpaandrijving.

Neem, om de grenzen te verkennen, eens aan dat je de ideale raket hebt, met als brandstof materie en antimaterie die door volledige annihilatie worden omgezet in een bundel gamma-straling die met de lichtsnelheid naar achteren uitstroomt. Hier is een relativistische analyse nodig. Neem weer een raket waarvan de massa van $M_{start}$ naar $M_{end}$ afneemt, en een beginsnelheid van $v=0$. We schrijven de vergelijkingen van energiebehoud en impulsbehoud op. Vr de start is er alleen de rustmassa-energie van de raket plus brandstof $M_{start}c^2$; de impuls is 0. Als alle brandstof op is, is $E_{rad}$ de energie in de gamma-straling en dus $E_{rad}/c$ zijn impuls. De totale energie van de inmiddels snel bewegende raket is $M_{end}\gamma c^2$, en zijn impuls $M_{end}\gamma v$. Hier is weer $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$, met $v$ de eindsnelheid van de raket. Je krijgt dus:

Energiebehoud: $M_{start}c^2 = E_{rad} + M_{end}\gamma c^2.$

Impulsbehoud: $\displaystyle 0 = {E_{rad}\over c} - M_{end}\gamma v.$

Elimineer nu $E_{rad}$. Met wat algebra Tip: $\sqrt{\gamma^2-1}
= \gamma v/c$ vind je:


\begin{displaymath}{M_{start}\over M_{end}} = {1\over{\gamma-\sqrt{\gamma^2-1}}}.\end{displaymath}

Voor $v$ = 0.1 c geldt $\gamma=1.005$ zodat de vereiste massaverhouding in dit ideale geval 1.1 wordt: je hoeft maar 10% van de nuttige lading aan brandstof mee te nemen (5% materie, 5% antimaterie). Zelfs bij een gewenste eindsnelheid $v$ = 0.9 c is de massaverhouding maar 4.4. Voor een onbemande ruimtesonde heeft het niet veel zin om de snelheid hoger op te voeren: het kost veel energie en levert weinig tijdwinst op. Voor bemande missies ligt dit wat anders: bij extreem relativistische snelheden zal de bemanning door tijddilatatie in op de boordklok gemeten vrij korte tijd erg ver weg kunnen komen (van de aarde uit gezien verloopt er veel meer tijd). Zelfs met een ideale raket is het nog niet eenvoudig om extreem relativistische snelheden te halen: voor $\gamma=1000$, een tijddilatatiefactor nodig om binnen 100 jaar boordtijd een groot deel van het melkwegstelsel te doorkruisen, is al een massaverhouding van 2000 nodig. Uiteindelijk zal je dus toch aan andere technieken dan raketvoortstuwing moeten denken. Heb je ideen?


[INDEX]