4.2.2 Tweelichamenprobleem

In de bovenstaande afleiding van de derde wet van Kepler hebben we net gedaan of de zon stilstaat. In werkelijkheid zullen twee hemellichamen om een gemeenschappelijk zwaartepunt draaien (Fig.40a). Het zwaartepunt van twee massa's en met onderlinge afstand bevindt zich op van en van , met . Door links en rechts 1 op te tellen is eenvoudig in te zien (ga na) dat


waar .

Figuur 40a: Het zwaartepunt van twee massa's verdeelt hun verbindingslijn in twee stukken waarvan de lengtes zich omgekeerd verhouden als de massa's.

De cirkelbaanbeweging van twee massa's om hun gemeenschappelijk zwaartepunt zal dus verlopen als geïllustreerd in Fig.40b: op elk moment is de onderlinge afstand tussen de twee massa's maar beschrijft een cirkel met straal en een cirkel met straal . De snelheden en van de twee massa's verhouden zich net zo als hun baanstralen, omdat en . De centripetale kracht op is dus


Omdat deze kracht nog steeds geleverd wordt door de zwaartekracht van massa , die zich op een afstand bevindt, geldt:


De uiteindelijke, meer precieze versie van de derde wet van Kepler wordt dus:


(Voor een ellipsbaan geldt weer dezelfde formule, met voor , en ingevuld de halve lange assen , en van de ellipsen.)

Figuur 40b: Twee lichamen in een baan om elkaar heen draaien om hun gemeenschappelijk zwaartepunt.

In het geval van de zon en een planeet is het massaverschil zo groot ( ), dat het zwaartepunt vlakbij de zon ligt (binnen in de zon zelfs), dus de benadering van een stilstaande zon is vrij goed, maar voor nauwkeurig werk moet de beweging van de zon om het zwaartepunt van het zonnestelsel meegenomen worden (zie §6.1). Jupiter heeft een massa van 0.001 , terwijl de massa van, bijvoorbeeld, de aarde ten opzichte die van de zon vrijwel te verwaarlozen is. Dus is 0.1% kleiner dan 1jrAE. (Ga dit na.)

De volledige beschrijving van de beweging van de planeten brengt ook de onderlinge zwaartekracht van de planeten in rekening. Dit leidt tot zeer ingewikkelde uitdrukkingen voor de precieze banen. De gravitatietheorie van Einstein, de algemene relativiteitstheorie, leidt nog tot kleine correcties op de Newtoniaanse beschrijving van het zonnestelsel.

[INDEX]