4.2.1 Zwaartekracht; afleiding derde wet van Kepler voor een cirkelbaan

Experimenteel is vast te stellen, dat voorwerpen elkaar aantrekken met een kracht die gegeven wordt door Newtons gravitatiewet (zwaartekrachtwet):


De kracht die twee puntmassa's en op elkaar uitoefenen is evenredig met beide massa's en omgekeerd evenredig met hun onderlinge afstand in het kwadraat. De gravitatieconstante is experimenteel te bepalen als ).

De derde wet van Kepler is nu uit de wetten van Newton af te leiden door de voor de cirkelbaanbeweging vereiste centripetale versnelling gelijk te stellen aan de versnelling veroorzaakt door de zwaartekracht. Neem voor de massa van de zon en voor de massa van de planeet. De centripetale versnelling van de planeet in een cirkelbaan is ; de centripetale kracht is dus . Deze kracht is de zwaartekracht van de zon op de planeet, dus , zodat we voor de baansnelheid (de cirkelsnelheid) vinden:


De baansnelheid is natuurlijk gelijk aan de omtrek van de baan gedeeld door de omlooptijd (de baanperiode ): , zodat


de derde wet van Kepler. We zien nu waar de constante in deze wet vandaan komt. (Dezelfde uitdrukking geldt onveranderd voor ellipsbanen, als je voor de halve lange as van de ellips invult.) Het grote belang van de derde wet van Kepler zit hem erin, dat met behulp van deze wet uit twee op afstand waarneembare grootheden, de omloopperiode en de straal (bij een ellips: halve lange as) van de baan de massa bepaald kan worden. Uit het feit dat de aarde op een afstand van = 1AE 15010km in = 1jaar om de zon loopt, volgt direct de massa van de zon:


Opgave. Wat is nu de massa van de aarde, gegeven dat een geostationaire satelliet op 35800km hoogte ``hangt''? (Het juist antwoord is 610g. Als je antwoord 3.610g was, wat was je dan vergeten?)


[INDEX]