4.1.4 Radiële en transversale componenten van de beweging

In deze sectie beschouwen we de beweging van puntmassa P in een vast plat vlak . Beschrijf deze beweging met een positievector in het vlak die een hoek maakt met de positieve -as. De vector ligt altijd in , en dus liggen en ook altijd in (ga na). We ontbinden de beweging in een radiële en een transversale component, respectievelijk in de richting van, en loodrecht op . Dit doen we met behulp van twee eenheidsvectoren in , namelijk , de eenheidsvector in de richting van , en , de eenheidsvector loodrecht op (zie Fig.37; wijst in de richting van toenemende ).

In tegenstelling tot de eenheidsvectoren , en , zijn en dus niet constant. Hun lengte is wel constant (=1), maar hun richting verandert mee met de richting van .

Figuur 37: Links: de eenheidsvectoren en . Rechts: ontbinding van in de richting van deze twee eenheidsvectoren.

In §4.1 zagen we dat snelheid . De vector is geheel bepaald door zijn lengte , en zijn richting, uitgedrukt in de hoek die hij maakt met de positieve X-as. De verandering die in een tijdje ondergaat bestaat dus uit een verandering in zijn lengte, en een verandering in zijn richting (zie Fig.37). Nu is een kleine hoek, dus de lengteverandering van gebeurt bijna helemaal (en in de limiet voor helemaal) in de richting van . Om dezelfde reden (zie §3.1 over driehoeken met een kleine hoek) is de beweging loodrecht op in tijdje gelijk aan . Je ziet dus:


Let wel op: is dus niet gelijk aan , omdat de verandering van een vector niet alleen bestaat uit een verandering van zijn lengte, maar ook van zijn richting.

De grootheid staat bekend als de hoeksnelheid van P ten opzichte van de oorsprong. Hiervoor wordt vaak het symbool gebruikt.

De radiële en transversale componenten van de versnelling kunnen met toepassing van dezelfde redeneringen worden gevonden. Schrijf , waar en dus de componenten van zijn in de richting van en . In een tijdje draaien en allebei over dezelfde kleine hoek , en worden ieder een stukje , respectievelijk langer. Je krijgt op dezelfde manier als hierboven: en (ga aan de hand van een tekeningetje na waar het minteken vandaan komt). Omdat we uit de boven afgeleide uitdrukking voor de snelheid, , weten dat en krijg je uiteindelijk:


De termen met en zijn in deze uitdrukking niets anders dan de versnellingen die nodig zijn om het ``versneld langer worden'' en het ``versneld draaien'' van de positievector te bewerkstelligen. Het grappige is, dat ook als de positievector slechts met een constante snelheid langer wordt of draait er al versnellingen nodig zijn. De term met is de versnelling naar de oorsprong toe (de centripetale versnelling) die nodig is om de afstand van tot de oorsprong constant te houden als hij met hoeksnelheid om de oorsprong draait. De term met is de zijwaardse versnelling (de Coriolisversnelling) die nodig is om de hoeksnelheid constant te houden, als zijn afstand tot de oorsprong wijzigt.


[INDEX]